Inngangur að þrískiptingu

Sjá einnig: Geometry an Introduction

Þríhæfing, eins og nafnið gæti bent til, snýst allt um þríhyrninga.

Nánar tiltekið snýst þrískipting um rétthyrnda þríhyrninga, þar sem eitt af innri hornunum er 90 °. Þríhæfing er kerfi sem hjálpar okkur að vinna úr vantar eða óþekktar hliðarlengdir eða horn í þríhyrningi.

Það er meira um þríhyrninga á síðunni okkar á Marghyrningar ættir þú að þurfa að bursta þig á grunnatriðunum áður en þú lest lengra hér.



Rétthyrndir þríhyrningar: Áminning

Rétthyrndur þríhyrningur hefur eitt rétt horn. Samkvæmt skilgreiningu þýðir það að allar hliðar geta ekki verið jafnlangar. Dæmigerður rétthyrndur þríhyrningur er sýndur hér að neðan.

Mikilvæg hugtök fyrir rétthyrnda þríhyrninga


Rétthyrndur þríhyrningur sem sýnir andstæða, samliggjandi og lágþrýsting
  • The Rétt horn er gefið til kynna með litla kassanum í horninu.



  • Hinn sjónarhornið sem við þekkjum (venjulega) er gefið til kynna með θ (þeta) .

  • Hliðin á móti réttu horninu, sem er lengsta hliðin, er kölluð lágþrýstingur .

  • Hliðin á móti θ er kölluð andstæða .



  • Hliðin við hliðina á θ sem ekki er lágkúla kallast samliggjandi .

Setning Pythagoras vs Þríhæfing


Pythagoras var grískur heimspekingur sem lifði fyrir meira en 2500 árum. Hann á heiðurinn af fjölda mikilvægra stærðfræðilegra og vísindalegra uppgötvana, en eflaust er það mikilvægasta sem orðið hefur þekkt sem setning Pythagoras.

Það er mikilvæg regla sem gildir aðeins að rétthyrndum þríhyrningum . Það segir það ‘Ferningurinn á lágþrýstingnum er jafnt og summan ferninganna hinum megin.’

Það hljómar frekar flókið en það er í raun alveg einfalt hugtak þegar við sjáum það á skýringarmynd:

dæmi um eigindlegar og megindlegar rannsóknaraðferðir
Pythagoras

Setning Pythagoras segir:

tiltvö+ btvö= ctvö

Þannig að ef við vitum lengd tveggja hliða þríhyrningsins og við þurfum að reikna þann þriðja getum við notað setningu Pýþagórasar.

Hins vegar, ef við þekkjum aðeins eina hliðarlengd og einn af innri sjónarhornunum, þá er Pythagoras okkur ekki ein og sér og við þurfum að nota þríhyrningsfræði.


Kynnum Sine, Cosine og Tangent

Það eru þrjú grundvallaraðgerðir í þríhæfni, sem hvor um sig er ein hlið á rétthyrndum þríhyrningi deilt með annarri.

Þessar þrjár aðgerðir eru:

hvernig á að bæta við jákvæðum og neikvæðum tölum
Nafn Skammstöfun Samband við hliðar þríhyrningsins
Sinus Án Sin (θ) = Andstæða / lágþrýstingur
Kósínus Eitthvað Cos (θ) = samliggjandi / lágþrýstingur
Tangent Svo Tan (θ) = Andstæða / samliggjandi


Reikna út Sinus, Cosine og Tangent

Þú getur fundið það gagnlegt að muna Sine, Cosine og Tangent sem SOH CAH TOA.

Að muna þríhyrningsaðgerðir geta verið erfiðar og ruglingslegar til að byrja með. Jafnvel SOH CAH TOA getur verið erfiður. Þú gætir prófað að búa til fyndið minnismerki til að hjálpa þér að muna. Haltu bara hverjum hópi þriggja stafa í sömu röð.



Til dæmis gæti TOA SOH CAH verið það ' T hann EÐA ld TIL fornleifafræðingur S kl EÐA n H er C hafrar TIL nd H at ’.

Topp ráð!


Vegna sambandsins á milli má einnig reikna Tan θ sem:
Synd θ / Cos θ.

Þetta þýðir að:

  • Sin θ = Cos θ × Tan θ og
  • Cos θ = Sin θ / Tan θ.

Þríhæfing í hring

Fyrir frekari upplýsingar um hringi eða fljótlega endurnýjun, sjáðu síðuna okkar á Hringir og sveigðir form .

Þegar miðað er við þríhyrninga erum við takmörkuð við horn sem eru minni en 90 °. Þríhæfni á þó jafnt við um öll horn, frá 0 til 360 °. Til að skilja hvernig þríhyrningsaðgerðir virka við horn stærri en 90 ° er gagnlegt að hugsa um þríhyrninga sem eru smíðaðir innan hrings.

Kartesísk hnit hrings.



Lítum á hring, skipt í fjóra fjórmenninga.

Venjulega er miðja hringsins talinn Cartesian hnit (0,0). Það er, x gildi er 0 og y gildi er 0. Frekari upplýsingar um þetta, sjá síðu okkar á Kartesísk hnit .

Allt sem er vinstra megin við miðjuna hefur x gildi minna en 0 , eða er neikvætt, á meðan eitthvað til hægri hefur jákvætt gildi.

Á sama hátt hefur allt undir miðpunktinum y gildi sem er minna en 0 , eða er neikvætt og hver punktur efst í hringnum hefur jákvætt y gildi.


Notaðu hring með þríhyrndar aðgerðir fyrir horn sem eru stærri en 90 °.

Skýringarmynd ég sýnir hvað gerist ef við drögum radíus frá miðju hringsins til hægri meðfram x ásnum (við segjum að þetta sé í jákvæða átt).

Við snúum síðan radíusnum í átt að réttsælis í gegnum horn þeta θ. Þetta skapar rétthyrndan þríhyrning.

Án θ = gegnt (rauð lína)
lágkúra (blá lína)

Cos θ = samliggjandi (græn lína)
lágkúra (blá lína)

Í Skýringarmynd yl , við höfum snúið geislanum frekar í átt að réttsælis, framhjá lóðrétta (y-ásnum) í næsta fjórðung. Hér er θ ljótt horn, milli 90 ° og 180 °. Tilvísunarhornið alfa α er jafnt 180 ° - θ og er skarpa hornið innan rétthyrnda þríhyrningsins.

Sin θ = Sin α = gegnt (rauð lína)
lágkúra (blá lína)

Bæði bláu og rauðu línurnar eru jákvæðar, svo sin θ er jákvæð.

Cos θ = −Cos α = samliggjandi (græn lína)
lágkúra (blá lína)

Cos θ er neikvætt þar sem græna línan er neikvæð (hún liggur meðfram x ásnum vinstra megin við upprunann (0,0), svo er í neikvæða hlutanum á x ásnum).

Í Skýringarmynd iii hefur radíusinn snúist frekar réttsælis í næsta fjórðung þannig að gildi θ er á milli 180 ° og 270 °. Grænu, rauðu og bláu línurnar hafa öll neikvæð gildi og α = θ - 180 °. Sinus og cosinus eru því öll jákvæð í gildi.

Skýringarmynd iv sýnir síðasta fjórðunginn. Gildi θ er á milli 270 ° og 360 °, græna línan er jákvæð, en rauðu og bláu línurnar eru neikvæðar. Sin θ er því jákvæð og Cos negative er neikvæð. α = 360 ° - θ.


Einingahringurinn

The 'Unit Circle' er sérstakt tilfelli af hringnum sem sést á skýringarmyndunum hér að ofan. Einingarhringurinn er með 1 radíus.

Þegar unnið er með einingarhring getum við mælt cos, sin og tan beint:

Sine, Cosine og Tangent - Unit Circle

Graf af Sine, Cosine og Tangent

Tengslin milli hornsins og syndarinnar eða cos má teikna sem línurit:

  • y = synd (θ)
  • y = cos (θ)
Sine, Cosine Graph. www.skillsyouneed.com/num/trigonometry.html

Þú getur séð að þegar θ er 0, þá er það sinus. Þetta er skynsamlegt þegar þú horfir á skýringarmynd eininga hér að ofan. Þegar θ = 0 liggur aðliggjandi og lágkúra bæði eftir jákvæða x ásnum og rauða línan sem sýnir gildi syndarinnar θ hverfur (það er enginn þríhyrningur).

Kósínus línuritið er með sömu lögun og sinus en hefur gildið 1 þegar θ = 0. Þegar horft er aftur á hringinn hér að ofan, þegar θ = 0, liggja aðliggjandi og lágkúra bæði eftir jákvæða x ásnum og hafa sama gildi, svo aðliggjandi / hypotenuse = 1.

hvernig á ekki að vera stressaður

Hringrás einefna sinus og cosinus línuritanna er ótrúlega mikilvægt í vísindum, náttúru og verkfræði. Sem dæmi má nefna rafbúnað (skiptisstraum), hljóð- og útvarpsbylgjur, einfaldar samhljóða hreyfingar (svo sem sveiflulegan pendúl), braut gervihnatta eða hækkun og fall sjávarfalla.

The amplitude hringlaga bylgjumynsturs er gildi ‘toppsins’ á línuritinu, þ.e.a.s. fjarlægðin frá x-ásnum að hámarks- eða lágmarksgildinu. Í myndritinu Sine og Cosine hér að ofan hefur amplitude gildi 1. Í forritum eins og hljóð- eða rafstraumi er amplitude breytilegt, allt eftir hljóðrúmmáli eða stærð núverandi. Stærðflóð sjávarfalla er einnig mismunandi, allt eftir staðsetningu tunglsins og ‘tog’ þess á jörðinni.

Einkenni snerturitsins (tan θ) eru nokkuð mismunandi. Snerturitið hefur ekki amplitude (bylgjulík einkenni) vegna þess að það hefur engin hámarks- eða lágmarksgildi hámarks. Það breytist úr −∞ í + ∞ (neikvætt og jákvætt óendanlegt) fer yfir 0 á 180 ° fresti:

Graf yfir snertilínur.

Við óendanleika (jákvætt eða neikvætt) er sagt að það sé óskilgreint. Við getum skilið þetta línurit betur þegar við lítum á jöfnuna tan θ = sin θ / cos θ. Alltaf þegar synd θ er núll, þá verður sólbrúnt θ einnig að vera núll. Öfugt, þegar cos θ er núll, þá verður nefnarinn í jöfnunni núll. Allt sem er deilt með núlli hefur gildi óendanleika, þannig að gildi θ sem hafa kósínus núll hafa líka óendanlegt snertilit á myndinni. Óendanleikinn hefur ekki nákvæm gildi þannig að línurnar á snerturitinu verða sífellt lóðréttari þegar y-ásinn eykst til meiri og meiri gilda. Línurnar komast nær og nær lóðréttu línunum á línuritinu fyrir sérstök gildi θ, til dæmis við 90 °. Hver þessara lóðréttu lína er kölluð an asymptote .

Andstæða Sine, Cosine og Tangent

Þú getur einnig unnið úr andhverfu fallinu að sin, cos og tan, sem þýðir 1 deilt með þeirri aðgerð. Þeir eru tilnefndir sem sin / cos / tan -1. Þetta gerir þér kleift að vinna úr sjónarhorninu ef þú ert með synd, cos eða tan.

Með öðrum orðum:

  • Synd (90) = 1
  • Sin - 1 (1) = 90 °

Þríhæfni og reiknivélar


Vísindalegir reiknivélar hafa sin, cos og tan virka, svo og andhverfa virkni. Það er þess virði að taka nokkrar mínútur til að komast að því hvernig reiknivélin þín starfar, þar sem þetta gæti sparað þér óratíma þegar þú þarft á því að halda.


Aðrir þríhyrningar og þrískipting

Þríhæfing virkar einnig fyrir aðra þríhyrninga, bara ekki alveg á sama hátt. Þess í stað eru tvær reglur byggðar á þríhyrningi eins og þessum:

Þríhyrningar í þríhæfni

Sine reglan er:

til/án A=b/án B=c/án C

Cosine reglan er:

ctvö= atvö+ btvö- 2ab cos (C)


Hvers vegna þarf ég þríhyrningsfræði?

Þetta er sanngjörn spurning og svarið er að minnsta kosti að hluta til vegna þess að þeir sem ákveða stærðfræðinámskrá í mörgum löndum telja að þú ættir að vita af henni og það af mjög góðri ástæðu.

Þríhæfing er sögð mikilvægasta stærðfræðilega samband sem hefur fundist. Þríhyrningar eru eitt einfaldasta formið sem finnast í náttúrunni en stærðfræði þeirra skiptir miklu máli, sérstaklega þar sem þörf er á nákvæmum fjarlægðarmælingum. Þegar við förum að hugsa um forritin þar sem nákvæmar vegalengdir eru mikilvægar er augljóst að það eru tugir, þar á meðal siglingar í sjó- og flugkerfum, stjörnufræði, gervihnattakerfi, landfræðilegar kannanir og kortagerð (kort), arkitektúr og burðarvirkjun, grafísk hönnun og tölvugerð myndefni.

Margir þeirra reiða sig á mælitækni sem kallast þríhyrningur , sem beitir hugtökunum þríhæfni.

Dæmi: Þríhæfing og leiðsögn

Þegar þú siglir eða ferð um sjó, þar sem þú lendir, hefur áhrif á:

  • Áttina sem þú stýrir;
  • Hraðinn sem þú ferð í þá átt (þ.e. mótorinn eða vindhraðinn); og
  • Stefna og hraði sjávarfalla.

Þú getur verið að keyra í aðra áttina, en sjávarfallið gæti verið að koma frá annarri hliðinni og ýta þér á hina. Þú þarft þríhyrningsfræði til að reikna út hversu langt þú ferð og í hvaða nákvæma átt.

Vinna út ferðastefnu þína með þríhyrningsfræði.

Þú munt, með réttu, hafa komist að því að það er ekki alveg eins einfalt og allt það, vegna þess að raunveruleg akstursstefna fer eftir sjávarfalli og hraða þínum, en þú sérð líklega hvers vegna þrískipting gæti verið mikilvæg!


Unnið dæmi

Þú ert í dags siglingu og hefur ekki alveg sama hvar þú lendir. Þú byrjaðir á leiðinni austur og ætlar að sigla í eina klukkustund á 10 km hraða. Flóðið er rétt norður og keyrir á 5 km / klst. Í hvaða átt muntu lenda í að ferðast?

  1. Teiknið fyrst þríhyrninginn þinn , og merktu hliðarnar. Þú ert á leið til austurs, svo við skulum gera það að botni þríhyrningsins, lengd 10km. Flóðið á eftir að ýta þér norður, svo við skulum gera það að hægri hliðinni. Og þú vilt vita í hvaða átt þú munt enda, svo það er hornið θ.

    Trigonometry dæmi
  2. Þú ert með hið gagnstæða og aðliggjandi, sem þýðir að þú þarft að nota snertilit. Brúnt θ = Andstætt / aðliggjandi = 5/10 = 0,5.

  3. Nú er tíminn til að nota andhverfu brúnkuaðgerðina. Andhverfa sólbrúnan 0,5 er 26,6 °. Með öðrum orðum, tan 26,6 = 0,5.

  4. Áttaviti Stefna („stefna“ þín í siglingum) er mæld frá norðri , sem er 0 ° á áttavita þínum. Svar þitt frá (3) er hins vegar mælt frá 90 °, eða austur. Þú verður því að draga svar þitt frá 90 ° til að fá svarið: Þú ferð í áttina (stefnan) 63.4 °, sem er á milli Norður-Austurlönd (45 °) og Austur-Norður-Austurlönd (67,5 °).

Af hverju er þetta mikilvægt? Þú verður að vita í hvaða átt þú ferðst til að sigla heim að sjálfsögðu!

Í raunveruleikanum þarftu líka að muna að þá gæti sjávarfallið breyst ...

hvernig finn ég prósentuhækkunina milli tveggja talna

Niðurstaða

Trigonometry hefur kannski ekki svo mörg dagleg forrit, en það hjálpar þér að vinna með þríhyrninga auðveldara. Það er gagnlegt viðbót við rúmfræði og raunverulegar mælingar og sem slíkt vel þess virði að þróa skilning á grunnatriðunum, jafnvel þó þú viljir aldrei komast lengra.

Halda áfram að:
Rúmfræði
Kynning á algebru