Samtímis og fjórfalt jöfnu

Framhald frá: Kynning á algebru

Síðan okkar Kynning á algebru útskýrir hvernig hægt er að leysa beinar jöfnur með grunn algebru.

Þessi síða fjallar um flóknari jöfnur, þar á meðal þær sem fela í sér brot, og tvö sérstök vandamál sem þú gætir lent í: samtímis jöfnur og veldisjöfnur.

Mikilvægast er að það kemur skýrt fram að þessar jöfnur, eins og aðrar, samræmast reglum og að þú getur enn unnið með þær, svo framarlega sem þú manst eftir að gera það sama við báðar hliðar jöfnunnar.



Sviga í algebru

Í algebrujöfnum rekst þú oft á hugtök innan sviga (sviga). Þú gætir þurft að leysa jöfnuna stækka sviga. Þetta þýðir að við þurfum að vinna í gegnum tjáningu og fjarlægja sviga á rökréttan hátt, samkvæmt sumum reglum.



Ef þú hefur aðeins eitt sviga í jöfnunni er ferlið einfalt. Til dæmis:

$$ 4 (x - 2) = 18 $$

Í þessu tilfelli er allt innan sviga vinstra megin við jöfnuna margfaldað með 4. Fyrst skal stækka sviga með orði:

$$ 4x - 8 = 18 $$

Nú getur þú leyst jöfnuna fyrir (x ). Næst skaltu bæta við 8 við hvora hlið:

$$ 4x = 26 $$



Deilið að lokum hvorri hlið með 4:

$$ x = 6,5 $$

Ef jöfnan þín hefur tvö sviga (eða fleiri), sem þarf að margfalda saman, þá er ferlið flóknara en fylgir rökrétt regluverk.

Stækkaðu til dæmis tjáninguna:

$$ (2x + 5) (x + 4) = 0 $$



Vinstra megin jöfnunnar verðum við að margfalda (2 (x ) + 5) með ( (x ) + 4). Hver hópur sviga inniheldur fleiri en eitt orð. Það er ekki einfaldlega málið að margfalda sviga með a stuðull , eins og í fyrra dæminu, þar sem þú margföldaðir svigann allan með 4.

Í þessu tilfelli þarftu að margfalda hvert hugtak í fyrsta sviginu með hverju hugtaki í öðrum sviga og bæta þeim öllum saman, það er að margfalda (x ) með (x ), (x ) með 4 , síðan (x ) um 5, síðan 4 við 5. Það virðist frekar flókið, svo þú getur notað aðferð sem kallast ‘FOIL’ til að hjálpa.

FOIL aðferð til að leysa jöfnur. Fyrst, Utan, Inni, Síðast.

FOIL stendur fyrir F ÍRST EÐA leg Ég menn L ast.

FYRST: 2 (x ) × (x ) = 2 (x )tvö



ÚTAN: 2 (x ) × 4 = 8 (x )

INNI: 5 × (x ) = 5 (x )

SÍÐAST: 5 × 4 = 20

Næsta skref er að bæta þessu saman:

2 (x )tvö+ 8 (x ) + 5 (x ) + 20 er það sama og 2 (x )tvö+ 13 (x ) + 20.

Þannig að upprunalega jöfnan (2 (x ) + 5) ( (x ) + 4) = 0 verður:

$$ 2x ^ 2 + 13x + 20 = 0 $$

Þessi tegund af jöfnu er þekkt sem a veldisjöfnu . Það er meira um þetta hér að neðan.

Jöfnur við brot

Jöfnur með brotum líta svolítið ógnvekjandi út, en það er einfalt bragð til að auðvelda þau að leysa.

Kross-margföldun felur í sér að fjarlægja brotin með því að margfalda báðar hliðar með hverjum nefnara, aftur á móti. Nánari upplýsingar um vinnu með brot eru á síðunni okkar á Brot .

hvernig á að verða félagslega öruggari

Unnið dæmi


$$ frac {2 + x} {3} = frac {9 + x} {5} $$

Til að fjarlægja brotin, margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með hverri nefnara (3 og 5) fyrir sig.
Byrjaðu á því að margfalda hvora hliðina með 3:

$$ frac {3 (2 + x)} {3} = frac {3 (9 + x)} {5} $$

Til vinstri hætta við tveir 3s og skilja eftir sig 2 + (x ).
Til hægri stækkaðu sviga í teljaranum til að gera 27 + 3 (x )

$$ 2 + x = frac {27 + 3x} {5} $$

Margfaldaðu nú báðar hliðarnar með 5. Aftur munu báðir 5-liðarnir falla niður til hægri og þú endar með:

$$ 5 (2 + x) = 27 + 3x $$ $$ $$ 10 + 5x = 27 + 3x $$

Endurskipuleggja jöfnuna þannig að hugtök sem innihalda (x ) eru til vinstri og hugtök sem innihalda aðeins tölur eru til hægri. Dragðu fyrst frá 10 frá hvorri hlið:

$$ 5x = 17 + 3x $$

Dragðu síðan 3 (x ) frá hvorri hlið til að fá öll (x ) gildi vinstra megin og þú endar með:

$$ 2x = 17 $$

Að lokum, að deila báðum hliðum með 2 gefur þér gildi (x ):

$$ x = 8,5 $$

Athugið að (x ) þarf ekki alltaf að vera heil tala.



Samtímis jöfnur

Hingað til hafa öll dæmin aðeins innihaldið eina „óþekkta“ breytu, (x ). Við getum leyst þessar jöfnur með algebru til að finna gildi (x ). Ef þú ert með eina óþekkta þarftu aðeins eina jöfnu til að leysa til að fá svarið.

Hvað gerist þó ef þú ert með jöfnu eins og (y ) = 4 (x ) + 5, þar sem eru tveir óþekktir , (x ) og (y )?

Þú gætir jafnvel rekist á flóknari jöfnu þar sem þú hefur þrjá óþekkta, (x ), (y ) og (z ).

Til að leysa þetta er reglan sú að þú þarft sama fjölda jöfnur og þú hefur óþekkt. Allar jöfnurnar verða að vera sannar fyrir alla óþekktu mennina. Þetta þýðir að þú þarft tvær jöfnur fyrir tvo óþekkta, þrjár jöfnur fyrir þrjá óþekkta og svo framvegis.

Samtímis jöfnur eru mengi af tveimur jöfnum, sem báðar fela í sér sömu óþekktu breyturnar, sem báðar eru réttar. Þeir eru nefndir samtímis vegna þess að þau eru leyst saman.

Samtímis jöfnur eru stundum tilgreindar með löngum hrokknum sviga til að tengja þær saman.

Aðferðin til að leysa samtímis jöfnur með breytu (x ) og (y ) er:

  • Raðaðu fyrst upp jöfnu til að fá tjáningu eða gildi fyrir (x ). Endurskipulagða jöfnan getur verið (x ) = tala, eða hún getur verið tjáning þar sem (x ) = fall (y ) (þ.e. (y ) er ennþá til sem óþekkt í jöfnunni ). Þú gætir séð þetta skrifað sem (x ) = ƒ ( (y )), sem þýðir einfaldlega ‘ (x ) er fall af (y )’.

  • Þegar þú hefur gildi eða tjáningu fyrir (x ), þá geturðu skipt því út í hina jöfnuna til að finna gildi (y ). Þessi nýja jöfnu mun aðeins hafa einn óþekktan, (y ).

  • Að lokum, ef svarið þitt (x ) =? frá skrefi (1) inniheldur ' (y )', þá geturðu skipt gildi þínu (y ) úr þrepi (2) í tjáningu þína fyrir (x ), til að finna gildi (x ).

Unnið dæmi 1: Þegar x er hægt að leysa sem gildi í skrefi 1.

$$ biggl { begin {eqnarray} 2x = 6 quad ; ; ; \ y = 4x + 5 end {eqnarray} $$

Ef 2 (x ) = 6, þá ( boldsymbol {x} ) = 3 .

Með því að skipta 3 út fyrir (x ) í annarri jöfnunni geturðu leyst það til að komast að því hvað (y ) er.

$$ y = (4 sinnum 3) + 5 = 17. $$ $$ boldsymbol {y = 17} $$


Unnið dæmi 2: Þegar skref 1 gefur (x = ƒ (y) )

$$ biggl { begin {eqnarray} x - y = 1 quad ; ; \ 2x + 3y = 27 end {eqnarray} $$

Skref 1 : Ef (x ) & mínus; (y ) = 1, þá (x ) = 1 + (y )

2. skref : Að skipta þessu út í annarri jöfnu gefur 2 (1 + (y )) + 3 (y ) = 27

Stækkun sviga gefur 2 + 2 (y ) + 3 (y ) = 27

Þá 2 + 5 (y ) = 27

Svo 5 (y ) = 25, sem gefur lausnina ( boldsymbol {y} ) = 5.

3. skref : Við vitum að (x ) - (y ) = 1, þess vegna ( boldsymbol {x} ) = 6.


Quadratatic Jöfnum

Jafna sem hefur formið (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) kallast a veldisjöfnu .

( boldsymbol {a} ), ( boldsymbol {b} ) og ( boldsymbol {c} ) eru allar tölur og í hverri jöfnu geta þær allar verið eins eða geta verið mismunandi. Þeir geta líka verið neikvæðir eða jákvæðir.

Dæmi um veldisjöfnur eru:

  1. ( boldsymbol {2x ^ 2 + 5x + 10 = 0} ). Í þessari jöfnu eru (a ) = 2, (b ) = 5 og (c ) = 10.

  2. ( boldsymbol {3x ^ 2 - 3x + 9 = 0} ). Í þessari jöfnu eru (a ) = 3, (b ) = -3 og (c ) = 9.

  3. ( boldsymbol {52x ^ 2 + x} ) & mínus; ( boldsymbol {45 = 0} ). Í þessari jöfnu er (a ) = 52, (b ) = 1 og (c ) = & mínus; 45.

Parabolic Curves og Quadratic jöfnuður


Ferningajöfnur eru mjög mikilvægar í stærðfræði og raungreinum. Þau eru stærðfræðileg ‘lýsing’ á paraboluferli (parabola). Nánari upplýsingar um parabola og önnur bogin form, kölluð keilulaga kafla, sjá síðuna okkar á hringi, sporbaug, parabola og hyperbolas . Gildin (a ), (b ) og (c ) í fjórðu jöfnu lýsa lögun ferilsins og hvar hann er staðsettur innan safns kartesískra hnita (x og y ása). Fyrir frekari upplýsingar, sjá síðuna okkar á Kartesísk hnit .

Parabóla sem dregin er út úr veldisjöfnu þar sem (a ) = 1, (b ) = −4 og (c ) = 5 lítur svona út:

Parabóla sem dregin er út úr veldisjöfnu þar sem a = 1, b = −4 og c = 5.

Það eru nokkrar mismunandi leiðir til að leysa þessar jöfnur:

1. Með þátttöku

Í stærðfræði, þættir eru hlutir sem margfaldast saman. Factorization er ferli sem notað er til að búa til tvö þættir frá fjórðungatjáningu sem hægt er að margfalda saman. Þessir þættir eru sviga með einfaldri línulegri tjáningu sem inniheldur (x ) inni í hverjum og einum.

Þú býrð til fjórða jöfnu með því að margfalda tvö segð innan sviga ( (x ) + tölu) ( (x ) + annarri tölu). Þetta þýðir að hver og einn það hefur lausn hægt að skrifa á þessu tveggja sviga formi.

Þetta er andstæða FOIL aðferðarinnar til að stækka sviga sem lýst er hér að ofan. Að auka tvö sviga sem eru margfalduð saman gefur:

hvað gerir 5! meina í stærðfræði
$$ boldsymbol {(x + m) (x + n) = x ^ 2 + (m + n) x + mn} $$

Þetta þýðir að þegar þú ert með jöfnu í forminu (x ^ 2 + bx + c ), þá ertu að leita að tveimur tölum þannig að þegar þær eru margfaldaðar færðu (c ) og þegar þeim er bætt við færðu (b ). Þú munt venjulega geta séð strax hvort þetta er til sem heilar tölur.

Aðeins einföldu fjórðu jöfnurnar geta auðveldlega verið þáttaðar. Ef þér hefur ekki tekist að leysa það með þátttöku eftir nokkrar mínútur er best að prófa aðra aðferð.

Unnið dæmi


$$ boldsymbol {x ^ 2 + 9x +20 = 0} $$

Þú veist að 4 × 5 = 20 og 4 + 5 = 9.

Svigin tvö eru því ( (x ) + 4) ( (x ) + 5).

Þessi tjáning verður að vera núll, þannig að annað hvort (x ) + 4 = 0 eða (x ) + 5 = 0.

Tvær lausnir jöfnunnar eru ( boldsymbol {x} ) = −4 og ( boldsymbol {x} ) = −5 .

Hvers vegna eru tvær lausnir á fjórðungsjöfnu?


Vegna þess að línuritið er í formi parabóla.

Hér að neðan er línuritið yfir jöfnu sem notað er í dæminu hér að ofan (y ) = (x )tvö+ 9 (x ) + 20.

Tvö gildi (x ) eru þekkt sem rætur jöfnunnar. Þetta eru gildin (x ) þegar (y ) = 0. Á línuritinu er (y ) = 0 við x-ásinn. Punktarnir (x ) = −4 og (x ) = −5 eru því þar sem ferill jöfnunnar fer yfir x-ásinn. Lágmarksgildið (y ) (lægsti punktur ferilsins) á sér stað milli (x ) = −4 og (x ) = −5. Það er bara hægt að sjá ferilinn dýfa sér niður fyrir x-ásinn á þessu línuriti.

Þegar litið er á jöfnuna aftur, þegar (x ) = 0, þá (y ) = 20. Á línuritinu sjáum við að ferillinn fer yfir y-ásinn ( (x ) = 0) við + 20. Þetta er þekkt sem y-skurður og er alltaf gildi (c ) í veldisjöfnu.

hvernig á að ákvarða hlutfall tveggja talna
Graf línunnar y = x ^ 2 + 9x + 20

2. Notkun formúlu

Ef þessir tveir þættir eru ekki augljósir er næsta skref að nota formúlu. Allar veldisjöfnur sem hægt er að leysa munu svara með formúlunni:

$$ large x = frac {-b pm sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a} $$

Í þessu tilfelli er (a ) stuðullinn (x )tvö, (b ) af (x ), og (c ) er talan í lokin þegar jöfnan er í forminu (ax )tvö+ (bx ) + (c ) = 0.

Hvaða jöfnu sem hefur aðeins hugtök með (x )tvö, (x ) og tölur er hægt að breyta í formið (ax )tvö+ (bx ) + (c ) = 0, og síðan leyst með formúlunni.

Vegna þess að þú getur haft (b ) plús eða mínus ferningsrótina, hafa veldisjöfnur alltaf tvær lausnir, eins og sýnt er í upplýsingareitnum hér að ofan. Þeir eru kallaðir rætur jöfnunnar og ástæðan fyrir því er augljósari þegar við lítum á formúluna (( pm sqrt) ).

Mikilvægt er að hafa í huga að sumar veldisjöfnur hafa ekki ‘raunverulegt’ svar.

Til dæmis ef (b )tvö& mínus; 4 (ac ) er neikvætt, þá verður ekkert raunverulegt svar, því þú getur ekki haft kvaðratrót af mínus tölu, nema í formi ímyndaðrar tölu (það er meira um ímyndaðar tölur á síðunni okkar á sérstakar tölur og hugtök ).


3. Að klára torgið

Ef ekki er hægt að breyta stærðarjöfnu þinni þá er valkostur við að nota formúluna aðferð sem kallast að klára torgið . Það er mögulega erfiðasta aðferðin til að skilja. Það krefst þess að þú raðar upp jöfnunni þannig að hún verði „ fullkomið ferkantað þrefaldur ’(Þrenningargrein er stærðfræðileg tjáning með þremur hugtökum).

Það hljómar mjög flókið, en það er bara „stærðfræði-tala“ til að segja að þú getir notað þessa aðferð til að umbreyta veldisjöfnu úr einum sem ekki er hægt að þátta í einn sem hægt er að þátta og þú getur fundið lausnina með því að reikna ferningsrót þess.

Þessi aðferð virkar aðeins fyrir (ax )tvö+ (bx ) + (c ) = 0 þegar (a ) = 1. Ef (b ) er jafnt, þá er enn betra.

Til að leysa jöfnuna verðum við að kynna aðra tjáningu:

$$ (x + frac b2) ^ 2 + c $$

Þessa tjáningu er hægt að stækka til að gefa

$$ x ^ 2 + bx + vinstri ( frac b2 hægri) ^ 2 + c $$

Þetta er það sama og upphaflega veldisjöfnunin, en með aukahugtaki (( frac b2) ^ 2 )

Upprunalega jöfnuna er því hægt að skrifa aftur sem nýja orðtakið, að frádregnu aukatímanum:

$$ (x + frac b2) ^ 2 - left ( frac b2 right) ^ 2 + c = 0 $$

Að endurskipuleggja þessa nýju jöfnu gefur

$$ (x + frac b2) ^ 2 = -c vinstri ( frac b2 hægri) ^ 2 $$

Þetta er hægt að leysa með því að taka kvaðratrót beggja hliða.

Eftirfarandi unnið dæmi auðveldar skilning á þessari aðferð:

Finndu gildin ( boldsymbol {x} ) þegar ( boldsymbol {x} )tvö& mínus; 18 ( boldsymbol {x} ) + 72 = 0

Fyrst klárarðu ferninginn með því að bæta (( frac b2) ^ 2 ) við hvora hlið.

Í þessu tilfelli er þetta aukatímabil ((18 ÷ 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 81 )

$$ x ^ 2 - 18x + 81 = -72 + 81 $$

Næst þættirðu vinstri hliðina:

$$ (x - 9) (x - 9) = 9 $$

Þetta er það sama og

$$ (x - 9) ^ 2 = 9 $$

Þú getur séð að með því að nota þessa aðferð hefur vinstri hlið upphaflegu jöfnunnar verið breytt í a fullkomið ferkantað þrefaldur . Þetta er hægt að leysa með rótum:

$$ x - 9 = pm sqrt {9} $$ $$ x = 9 pm 3 $$

Niðurstaða

Þegar þú hefur lesið þessa síðu og fylgt dæmunum, ættirðu að vera öruggari um getu þína til að takast á við jafnvel flóknar jöfnur.

Mundu bara gullnu regluna:

Gerðu alltaf það sama við hvora hlið jöfnunnar

Ef þú gerir það, þá mun þér líða vel.


Halda áfram að:
Einföld tölfræðileg greining
Settu kenningu