Þrívíddarform: fjölliða, bogin föst efni og yfirborðssvæði

Sjá einnig: Eiginleikar marghyrninga

Þessi síða skoðar eiginleika þrívíddar eða „heilsteyptra forma.

Tvívídd lögun hefur lengd og breidd. Þrívítt solid lögun hefur einnig dýpt. Þrívíddarform hafa eðli málsins samkvæmt að innan og utan, aðskilin með yfirborði. Allir líkamlegir hlutir, hlutir sem þú getur snert, eru þrívíddir.

Þessi síða fjallar um bæði beinhliða föst efni, kölluð fjölhyrninga, sem eru byggð á marghyrningum, og föst efni með sveigjum, svo sem hnöttum, strokkum og keilum.


Fjölhyrninga

Fjölburðir (eða fjölburðir) eru beinhliða solid form. Fjölburðar eru byggðir á marghyrningum, tvívíddar planformum með beinum línum.

Sjá síðuna okkar Eiginleikar marghyrninga fyrir meira um að vinna með marghyrninga.

Fjöljaðar eru skilgreindir með:

  • Beint brúnir .
  • Flatar hliðar kallaðar andlit .
  • Horn, kölluð hornpunktar .

Fjölhyrningar eru einnig oft skilgreindir með fjölda brúna, andlita og hornpunkta sem þeir hafa, sem og hvort andlit þeirra séu öll í sömu lögun og stærð. Eins og marghyrningar geta fjölhyrningar verið reglulegar (byggðar á venjulegum marghyrningum) eða óreglulegar (byggðar á óreglulegum marghyrningum). Fjölhyrningar geta einnig verið íhvolfar eða kúptar.



Eitt af undirstöðuatriðum og kunnuglegustu fjölhyrningum er teningurinn. Teningur er venjulegur fjölburður, með sex fermetra andlit, 12 brúnir og átta hornpunkta.


Eiginleikar Basic Polyhedrons. Venjuleg fjölhyrning, prisma og pýramída.

Venjuleg fjölliða (platónísk föst efni)

Fimm venjuleg föst efni eru sérstakur flokkur fjölhyrninga, sem öll andlit eru eins og hvert andlit er venjulegur marghyrningur. The platonic föst efni eru:

  • Tetrahedron með fjögur jafnhliða þríhyrningsandlit.
  • teningur með sex fermetra andlit.
  • Octahedron með átta jafnhliða þríhyrningsandlit.
  • Dodecahedron með tólf fimmhyrnda andlit.
  • Icosahedron með tuttugu jafnhliða þríhyrningsandlit.
Sjá skýringarmyndina hér að ofan til að fá mynd af öllum þessum reglulegu fjölhyrningum.

Hvað er prisma?

TIL prisma er hvaða fjölhæð sem er með tvö samsvarandi endar og sléttar hliðar . Ef þú klippir prisma hvar sem er á lengd þess, samsíða enda, er þverskurðurinn sá sami - þú myndir enda með tvö prisma. Hliðar prisma eru samhliða skjöl - fjögurra hliða form með tvö jafnhliða par af hliðum.



Lyfseðli eru svipuð venjulegum prisma, endar þeirra passa saman. Hins vegar eru hliðar and-prisma samsettar úr þríhyrningum og ekki samsíða. Lyfjagjöf getur orðið mjög flókið.

Hvað er pýramídi?

Pýramída er fjölhyrningur með a marghyrningsgrunn sem tengist an toppur (efsta punkt) með beinum hliðum.

Þó að við höfum tilhneigingu til að hugsa um pýramída með ferkantaðan grunn, eins og þá sem fornu Egyptarnir byggðu, þá geta þeir í raun haft hvaða marghyrningsgrunn, reglulega eða óreglulega. Ennfremur getur pýramída haft topp í beinni miðju grunnsins, a Hægri pýramída , eða getur haft toppinn utan miðju þegar það er Skápýramída .

Archimedean Solid - styttur teningur

Flóknari fjölliða



Það eru til margar fleiri gerðir af fjölburum: samhverfar og ósamhverfar, íhvolfar og kúptar.

Archimedean föst efni, til dæmis samanstendur af að minnsta kosti tveimur mismunandi reglulegum marghyrningum.

Styttur teningur (eins og sýnt er) er Archimedean solid með 14 andlit. 6 andlitanna eru reglulegir átthyrningar og hinir 8 eru reglulegir (jafnhliða) þríhyrningar. Lögunin hefur 36 brúnir og 24 hornpunkta (horn).


Þrívíddarform með sveigjum

Heilsteypt form sem eru með boginn eða kringlóttan kant eru ekki fjölhyrningar. Fjölhyrningar geta aðeins haft beinar hliðar.

Margir hlutirnir í kringum þig munu innihalda að minnsta kosti nokkrar sveigjur. Í rúmfræði eru algengustu bognu föstu hlutarnir hólkar, keilur, kúlur og tori (fleirtala fyrir torus).

Algeng þrívíddarmynd með sveigjum:
Cylinder Keila
Cylinder Keila
Hylki hefur sama þversnið frá einum enda til annars. Hólkar eru með tvo eins enda á hring eða sporöskjulaga. Þó hylki séu svipuð eru ekki prisma þar sem prisma hefur (samkvæmt skilgreiningu) hliðstæðu, flatar hliðar. Keila hefur hringlaga eða sporöskjulaga grunn og topp (eða topp). Hliðin á keilunni lækkar mjúklega við toppinn. Keila er svipuð pýramída en greinileg þar sem keila hefur eina bogna hlið og hringlaga grunn.
Kúla Torus
Kúla Torus
Mótað eins og bolti eða hnöttur er kúla alveg hringlaga hlutur. Sérhver punktur á yfirborði kúlunnar er jafn fjarlægð við miðju kúlunnar. Hannaður eins og hringur, dekk eða kleinuhringur, venjulegur hringtorg er myndaður með því að snúast minni hring um stærri hring. Það eru líka flóknari form af tori.

Yfirborðssvæði

Síðan okkar á Reikna flatarmál útskýrir hvernig vinna á flatarmál tvívíðra forma og þú þarft að skilja þessi grunnatriði til að reikna út flatarmál þrívíddarforma.

Fyrir þrívíddarform erum við að tala um yfirborðsflatarmál , til að forðast rugling.

Þú getur notað þekkingu þína um flatarmál tvívíðra forma til að reikna út flatarmál þrívíddar lögunar, þar sem hvert andlit eða hlið er í raun tvívídd lögun.

Þú vinnur því út svæði hvers andlits og bætir þeim síðan saman.



Eins og með flat form er yfirborð fastra efna gefið upp í fermetra einingum: cmtvö, tommurtvö, mtvöog svo framvegis. Þú getur fundið frekari upplýsingar um mælieiningar á síðunni okkar Mælikerfi .

Dæmi um yfirborðsútreikninga

Yfirborðsflatarmál teninga

teningur

The flatarmál teninga er flatarmál eins andlits (lengd x breidd) margfaldað með 6, því öll sex andlitin eru eins.

Þar sem andlit teninga er ferningur þarf aðeins að taka eina mælingu - lengd og breidd fernings er samkvæmt skilgreiningu sú sama.

Eitt andlit þessa teninga er því 10 × 10 cm = 100cmtvö. Margfaldaðu með 6, fjölda andlita á teningi, og við komumst að því að flatarmál þessa teningar er 600cmtvö.

Aðrar venjulegar fjölhyrningar

Á sama hátt er hægt að vinna að yfirborði hinna venjulegu fjölhýdróna (platónískra fastra efna) með því að finna flatarmál annarrar hliðar og margfalda síðan svarið með heildarfjölda hliða - sjá grunnskýringu fjölhyrninga hér að ofan.

Ef flatarmál eins fimmhyrnings sem samanstendur af dodecahedron er 22cmtvömargfaldaðu þetta síðan með heildarfjölda hliða (12) til að gefa svarið 264cmtvö.


Pýramída

Til að reikna út flatarmál venjulegs pýramída með fjórum jöfnum þríhyrndum hliðum og ferkantaðan grunn:

Reyndu fyrst út flatarmál grunn (ferningur) lengd × breidd.

Reiknið næst flatarmál annarrar hliðar (þríhyrningur). Mældu breiddina meðfram botninum og síðan hæð þríhyrningsins (einnig þekkt sem ská lengd) frá miðpunktinum á botninum að toppnum.

Þú getur þá annað hvort deilt svari með 2 til að gefa þér yfirborðsflatarmál eins þríhyrnings og síðan margfaldað með 4 til að gefa flatarmál allra fjögurra hliðanna, eða einfaldlega margfaldað flatarmál eins þríhyrnings með 2.

Bætið loks flatarmáli grunnsins og hliðanna saman til að finna heildarflatarmál pýramídans.

Til að reikna út yfirborðsflatarmál annarra tegunda pýramída, leggið saman flatarmál grunnsins (þekktur sem grunnflatarmál) og flatarmál hliðanna (hliðarsvæðið), þú gætir þurft að mæla hliðarnar hver fyrir sig.

hvernig á að finna meðaltalið

Net skýringarmyndir

Geómetrískt net er tvívítt „mynstur“ fyrir þrívíddarhlut. Net geta verið gagnleg þegar unnið er að yfirborði þrívíddar hlutar. Í skýringarmyndinni hér að neðan geturðu séð hvernig grunnpýramídar eru smíðaðir, ef pýramídinn er „útbrotinn“ ertu eftir með netið.

Pýramídanet

Fyrir frekari upplýsingar um net skýringarmyndir sjá síðuna okkar Þrívíddarform og net .


Yfirborð prisma

Prisma

Til að reikna út yfirborð prisma :

Prisma hafa tvo enda sömu og flata hliðstæðu hliðar.

Reiknið flatarmál annars endans og margfaldið með 2.

Fyrir venjulegt prisma (þar sem allar hliðar eru eins) reiknið flatarmál annarrar hliðarinnar og margfaldið með heildarfjölda hliðanna.

Fyrir óreglulegar prisma (með mismunandi hliðum) reiknið flatarmál hvorrar hliðar.

Settu tvö svör saman (endar × hliðar) til að finna heildarflatarmál prisma.


Cylinder

Yfirborðssvæði strokka

Dæmi:
Radíus = 5cm
Hæð = 10cm

Til að reikna út yfirborðsflata strokka það er gagnlegt að hugsa um íhluti lögunarinnar. Ímyndaðu þér dós af sætkorni - það hefur topp og botn, sem báðir eru hringir. Ef þú klippir hliðina eftir endilöngu og fletur hana út, þá ertu með ferhyrning. Þú þarft því að finna flatarmál tveggja hringja og rétthyrnings.

Reyndu fyrst svæðið í einum hringjanna.

Flatarmál hrings er π (pi) × radíustvö.

Ef miðað er við 5 cm radíus er flatarmál eins hringsins 3,14 × 5tvö= 78,5cmtvö.

Margfaldaðu svarið með 2, þar sem það eru tveir hringir 157 cmtvö

Flatarmál hliðar sívalningsins er jaðar hringsins × hæð sívalningsins.

Jaðar er jafnt π x 2 × radíus. Í dæminu okkar eru 3,14 × 2 × 5 = 31,4

Mældu hæð strokka - í þessu dæmi er hæðin 10 cm. Yfirborðssíðu hliðarinnar er 31,4 × 10 = 314cmtvö.

Heildarflatarmálið er að finna með því að bæta flatarmáli hringjanna og hliðinni saman:

157 + 314 = 471cmtvö


Reiknið yfirborð keilunnar.

Dæmi:
Radíus = 5cm
Lengd halla = 10cm

Keila

Við útreikning á flatarmál keilu þú þarft að nota lengd ‘halla’ sem og radíus grunnsins.

Hins vegar er tiltölulega einfalt að reikna:

Flatarmál hringsins við botn keilunnar er, π (pi) × radíustvö.

Í þessu dæmi er summan 3,14 × 5tvö= 3,14 × 25 = 78,5cmtvö

Svæðið á hliðinni, hallandi hlutinn, er að finna með þessari formúlu:

π (pi) × radíus × lengd ská.

hver af eftirfarandi er ein besta leiðin til að slaka á strax fyrir kynningu?

Í dæminu okkar er summan 3,14 × 5 × 10 = 157cmtvö.

Bætið að lokum grunnflötinni við hliðarsvæðið til að fá heildarflatarmál keilunnar.

78,5 + 157 = 235,5cmtvö


Reiknið yfirborðssvæði kúlunnar.

Tennisbolti:
Þvermál = 2,6 tommur

Kúla

The yfirborðs svæði kúlu er tiltölulega einföld stækkun formúlunnar fyrir svæði hringsins.

4 × π × radíustvö.

Fyrir kúlu er oft auðveldara að mæla þvermálið - fjarlægðin yfir kúluna. Þú getur síðan fundið radíusinn sem er helmingur þvermálsins.

Þvermál venjulegs tennisbolta er 2,6 tommur. Radíusinn er því 1,3 tommur. Fyrir formúluna þurfum við radíusinn í öðru veldi. 1,3 × 1,3 = 1,69.

Yfirborð tennisbolta er því:

4 × 3,14 × 1,69 = 21,2264 tommurtvö.


Reiknið yfirborðssvæði torus.

Dæmi:
R (Large Radius) = 20 cm
r (Small Radius) = 4 cm

Torus

Til þess að reikna út yfirborð torus þú þarft að finna tvö radíusgildi.

Stóri eða stóri radíusinn (R) er mældur frá miðju holunnar að miðjum hringnum.

Litli eða minni radíusinn (r) er mældur frá miðjum hringnum að ytri kantinum.

Skýringarmyndin sýnir tvær sýn á dæmi torus og hvernig má mæla geisla hans (eða radíus).

Útreikningurinn til að finna yfirborðssvæðið er í tveimur hlutum (einn fyrir hvern radíus). Útreikningurinn er sá sami fyrir hvern hlut.

Formúlan er: yfirborðsflatarmál = (2πR) (2πr)

Til að vinna úr yfirborði flatarmálsins í torus.

(2 × π × R) = (2 × 3,14 × 20) = 125,6

(2 × π × r) = (2 × 3,14 × 4) = 25,12

Margfaldaðu svörin tvö saman til að finna heildarflatarmál dæmisins torus.

125,6 × 25,12 = 3155,072cmtvö.


Að fylla upp í Solid: Volume

Með þrívíddarformum gætirðu líka þurft að vita hversu mikið bindi þeir hafa.

Með öðrum orðum, ef þú fylltir þau með vatni eða lofti, hversu mikla fyllingu myndirðu þurfa?

Þetta er fjallað á síðunni okkar Útreikningur á rúmmáli .

Halda áfram að:
Reikna flatarmál
Þrívíddarform og net